3.遅延ポテンシャルの導出(積分)
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray} G(\boldsymbol{r},t)=\frac{1}{(2\pi)^4}\iint \frac{c^2}{k^2c^2-\omega^2} \mathrm{e}^{i(\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{k}+\omega t)} d\boldsymbol{k}^3d\omega \end{eqnarray} \tag{1}
}}$$
前回で上記の積分をすればよいことがわかった。積分変数ｋを極座標表示にすると、指数の肩の内積も大きさ×大きさ×コサインの形にできる。中心からの距離はkということと、ヤコビアンをつけることに注意する。分母分子をcの二乗で割る。
極座標表示
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray} G(\boldsymbol{r},t)=\frac{1}{(2\pi)^4}\int_0^\infty dk\int_0^{2\pi}d\phi \int_0^{\pi}d\theta \int_{-\infty}^\infty d\omega \frac{k^2 \mathrm{sin}\theta }{k^2-\frac{\omega^2}{c^2}} \mathrm{e}^{i(kr\mathrm{cos}\theta + \omega t)} \end{eqnarray} \tag{2}
}}$$
ここで、Φについての積分は、被積分関数がΦに依存していないので、2πの係数が出てくるだけである。そして、θについての積分を行うためにcosθ=yで変数変換を行うと、
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray} G(\boldsymbol{r},t)=\frac{1}{(2\pi)^3}\int_0^\infty dk\int_{-\infty}^\infty d\omega \frac{k^2{e}^{i\omega t} }{k^2-\frac{\omega^2}{c^2}} \int_{-1}^{1}dy \mathrm{e}^{ikry} \end{eqnarray} \tag{3}
}}$$
となる。そして、yについての積分を行うと、
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray} G(\boldsymbol{r},t)=\frac{1}{ir(2\pi)^3}\int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{i\omega t} d\omega \int_0^\infty dk \frac{k }{k^2-\frac{\omega^2}{c^2}} (\mathrm{e}^{ikr} – \mathrm{e}^{ikr}) \end{eqnarray} \tag{4}
}}$$
となる。
ここで少し特殊な変形をする。新しく、以下の積分を考える。そして、範囲を二つに分けて、片方の積分変数を負に変換すると、
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray} I&=&\int_{-\infty}^\infty dk \frac{ k }{k^2-\frac{\omega^2}{c^2}} \mathrm{e}^{ikr}\\
&=&\int_{-\infty}^0 dk \frac{ k }{k^2-\frac{\omega^2}{c^2}} \mathrm{e}^{ikr}+\int_{0}^\infty dk \frac{ k }{k^2-\frac{\omega^2}{c^2}} \mathrm{e}^{ikr}\\
&=&\int_{0}^\infty dk \frac{ k }{k^2-\frac{\omega^2}{c^2}} \mathrm{e}^{ikr}-\int_{0}^\infty dk \frac{ k }{k^2-\frac{\omega^2}{c^2}} \mathrm{e}^{-ikr}\\
&=&\int_{0}^\infty dk \frac{ k }{k^2-\frac{\omega^2}{c^2}} (\mathrm{e}^{ikr}-\mathrm{e}^{-ikr})\\ \end{eqnarray} \tag{5}
}}$$
となる。これは(4)式のｋの積分の形と全く同じである。積分Iを(4)に代入すると
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray} G(\boldsymbol{r},t)=\frac{1}{ir(2\pi)^3}\int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{i\omega t} d\omega \int_{-\infty}^\infty dk \frac{ k }{k^2-\frac{\omega^2}{c^2}} \mathrm{e}^{ikr} \end{eqnarray} \tag{6}
}}$$
右側のkについての積分を行う。これは、ωの値によることから、ωの関数としている。
複素数k平面上にて、下記のような半円(赤)の積分経路を考えて、半径を∞に極限を取る。すると、円の弧を積分経路とする積分は0になるので、考えなくてよい。したがって(7)式のような積分に変形できる。複素数ｋとして、留数定理を使いたい。
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray} I(\omega) &=& \int_{-\infty}^\infty dk \frac{ k }{k^2-\frac{\omega^2}{c^2}} \mathrm{e}^{ikr}\\&=&\oint_c dk \frac{ k }{k^2-\frac{\omega^2}{c^2}} \mathrm{e}^{ikr} \end{eqnarray} \tag{7}
}}$$
積分経路
しかし、このままでは、特異点が積分経路上にあるのでεを使って積分経路を避ける。
以下のように変形できる。+εi, -εi の二パターンのよけ方が可能なので、、
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray} I(\omega) = \lim_{\epsilon \to 0}
\oint_c &dk& \frac{ k }{k^2-(k_0 \pm \epsilon i)^2} \mathrm{e}^{ikr}\\
k_0&=&\dfrac{\omega}{c} \end{eqnarray} \tag{8}
}}$$
このようにすることによって、特異点の位置をずらす。積分経路の図において、青い点が+εiでずらしたときの特異点であり、黄緑の点が-εiでずらした場合の特異点である。それぞれ経路内部にある特異点も違うので、計算は二つに分かれる。
以下留数定理より、
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray} \lim_{\epsilon \to 0}
\oint_c dk \frac{ k }{k^2-(k_0 + \epsilon i)^2} \mathrm{e}^{ikr}&=&\lim_{\epsilon \to 0} \mathrm{Res} [ \frac{ k }{k^2-(k_0 + \epsilon i)^2} \mathrm{e}^{ikr} ; k_0 + \epsilon i ]2\pi i\\
&=&\lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{2}\mathrm{e}^{i(k_0+\epsilon i)r}2\pi i\\
&=&\mathrm{e}^{i\frac{r}{c}\omega}\pi i\\ \end{eqnarray} \tag{9}
}}$$
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray} \lim_{\epsilon \to 0}
\oint_c dk \frac{ k }{k^2-(k_0 – \epsilon i)^2} \mathrm{e}^{ikr}&=&\lim_{\epsilon \to 0} \mathrm{Res} [ \frac{ k }{k^2-(k_0 – \epsilon i)^2} \mathrm{e}^{ikr} ; -k_0 – \epsilon i ]2\pi i\\
&=&\lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{2}\mathrm{e}^{i(-k_0-\epsilon i)r}2\pi i\\
&=&\mathrm{e}^{-i\frac{r}{c}\omega}\pi i\\ \end{eqnarray} \tag{10}
}}$$
と、求まる。これらをまとめて、(6)式に代入すると
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray} G(\boldsymbol{r},t)=\frac{1}{4\pi r} \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{i(t\pm\frac{r}{c})\omega} d\omega \end{eqnarray} \tag{11}
}}$$
となる。これはまさしく、δ関数のフーリエ積分表示であるから下記のように変形できる。
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray} G(\boldsymbol{r},t)=\frac{1}{4\pi r} \delta(t\pm\frac{r}{c}) \end{eqnarray} \tag{12}
}}$$
グリーン関数を求めることができた。これより、遅延ポテンシャルが自然にもとまる。
次回は、ポテンシャルを求めて、それについての考察をする。
